Nell'analisi di una architettura, specie se classica o rinascimentale, molto spesso ci si imbatte in elementi architettonici probabilmente dotati di specifici e ben definiti rapporti tra le parti: ad esempio l'altezza di una colonna potrà essere cinque, sei o sette volte il diametro di base, oppure il rapporto tra altezza e larghezza di una stanza potrà essere di 3 a 5, 4 a 5 o 2 a 3 e così via. Nel caso di misure rilevate direttamente sul manufatto (non reperite dunque nel progetto, in forma di quota scritta), si troveranno però dei valori vicini ai rapporti detti, mai esattamente coincidenti con quelli. In questa sede si definiranno regole oggettive che diano, con l'ausilio della statistica, non tanto la certezza ma piuttosto il valore di probabilità che il rapporto trovato sia reale e non casuale. La certezza che una membratura architettonica stia in un rapporto dato con un'altra si potrà ottenere solo nel caso si disponga di esplicite "dichiarazioni di intenti", stante l'impossibilità di trovarla nella realtà misurata.

Imprecisioni della misura Nel passaggio dal progetto al reperimento della misura di un manufatto architettonico intervengono almeno tre distinti fattori: A) Imprecisioni nella costruzione. B) Deformazioni successive. C) Imprecisioni nella misurazione. Non è possibile stabilire a priori le possibili entità di queste imprecisioni: ad esempio le differenze tra elementi prefabbricati, come i mattoni, sono spesso minime, mentre conci di pietra di dimensioni simili possono presentare variazioni ben più marcate. Inoltre fenomeni naturali, come terremoti o subsidenza del terreno, o più semplicemente cedimenti e compressioni possono modificare sensibilmente le dimensioni complessive di un edificio, anche se di norma non riguardano i singoli elementi. Il passaggio più importante, ed anche forse il più aleatorio, è dunque dato dalla definizione dell'ambito di incertezza della misura, ambito che dipende strettamente dal tipo di manufatto, dalla sua epoca e grandezza, oltre che dal materiale di cui è costituito. Le tabelle e le tavole che seguono hanno l'unico scopo di rendere evidenti le difficoltà che si presentano a chi tenti di individuare con sicurezza un dato rapporto o proporzione a partire da misure rilevate su di un monumento o su di un grafico. La tabella A riporta, per esemplificazione, i possibili rapporti tra numeri interi compresi tra 1 e 10, alcune radici quadrate particolarmente interessanti e il valore della sezione aurea: in tutto ben 38 valori diversi tra loro e compresi tra 0.1 e 0.9. La tabella B, posta più avanti, esprime molti dei valori della tabella A (quelli relativi alle frazioni decimali) in forma più immediata.

Tabella A
Possibili rapporti tra interi compresi tra 1 e 10,
alcune radici quadrate e la sezione aurea.

0.1	1/10
0.1111111...	1/9
0.125	1/8
0.1428571	1/7
0.1666666...	1/6
0.2	1/5	2/10
0.2222222...	2/9
0.25	1/4	2/8
0.2857143	2/7
0.3	3/10
0.3333333...	1/3	2/6	3/9
0.375	3/8
0.4	2/5	4/10
0.4285714	3/7
0.4444444...	4/9
0.4472136	1/rad(5)
0.5	1/2	2/4	3/6	4/8	5/10
0.5555555...	5/9
0.5714286	4/7
0.5773503	1/rad(3)
0.6	3/5	3/10
0.618034	sez. aurea
0.625	5/8
0.6666666...	2/3	4/6	6/9
0.7	7/10
0.7071068	1/rad(2)
0.7142857	5/7
0.7453560	rad(5)/3
0.75	3/4	6/8
0.7777777...	7/9
0.8	4/5	8/10
0.833333...	5/6
0.8571429	6/7
0.8660254	rad(3)/2
0.875	7/8
0.8888888...	8/9
0.8944272	2/rad(5)
0.9	9/10

Nota: I tre punti alla fine di alcuni numeri indicano la periodicità dell'ultima cifra.

Tabella B
Valori delle sole frazioni decimali espressi in forma tabellare.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0.5
3	0.33333...	0.66666...
4	0.25	0.5	0.75
5	0.2	0.4	0.6	0.8
6	0.16666...	0.33333...	0.5	0.66666...	0.83333...
7	0.1428571	0.2857143	0.4285714	0.5714286	0.7142857	0.8571429
8	0.125	0.25	0.375	0.5	0.625	0.75	0.875
9	0.11111...	0.22222...	0.33333...	0.44444...	0.55555...	0.66666...	0.77777...	0.88888...
10	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9

Nota: I tre punti alla fine di alcuni numeri indicano la periodicità dell'ultima cifra.

Per rendere ancora più chiaro il punto, si considerino, ad esempio, le due misure di 10 e 6 metri: il loro rapporto è pari a 0.6 (linea azzurra). Se però ad ogni misura si associa un ambito di incertezza di +/- 20 cm, allora si troverà un intervallo di incertezza (fascia rossa) così definito: - Limite inferiore: 5.8 / 10.2 = 0.569. - Limite superiore: 6.2 / 9.8 = 0.633. Riportando i due limiti appena trovati sul grafico si vedrà che all'interno dell'intervallo di incertezza cadono, oltre al rapporto 0.6 relativo a 6/10 oppure a 3/5, anche i rapporti 4/7, 1/3, la sezione aurea e 5/8. Riducendo il margine di errore o l'incertezza a +/- 10 cm, i nuovi limiti (fascia verde) sono: - Limite inferiore: 5.9 / 10.1 = 0.584. - Limite superiore: 6.1 / 9.9 = 0.616. Come è possibile notare, il nuovo intervallo di incertezza contiene al suo interno solo il rapporto 3/5, sfiorando appena quello della sezione aurea.

Se alle misure rilevate si associa un intervallo di incertezza, vale a dire si stabilisce un intervallo, dipendente dalla loro natura e dalle tecniche del rilievo, all'interno del quale la misura "vera" può cadere con ogni probabilità, è pertanto possibile definire anche un valore, che chiameremo l'incertezza, relativo al rapporto tra due misure. Se, ad esempio, la misura A è 12 metri e si suppone che l'incertezza sia di +/- 2 centimetri (valore del resto molto basso) e la misura B è 6 metri con incertezza ancora di +/- 2 centimetri, il loro rapporto potrà variare tra i due valori: 5.98 / 12.02 = 0.4975 e 6.02 / 11.98 = 0.5025. La differenza tra i due possibili rapporti estremi è pari a 0.005, vale a dire +/0.0025 un numero puro. La tabella C riporta le percentuali di probabilità statistica, calcolate mediante un apposito programma per elaboratore, che il rapporto "vero" sia 0.5: se il rapporto è cercato tra tutti i numeri della tabella A, la percentuale di probabilità che le due lunghezze stiano tra loro nel rapporto 0.5 è pari a circa il 77% (interpolando linearmente - con un piccolo errore, dato che in realtà l'andamento è su di una curva - tra i valori relativi a +/- 0.001 e +/- 0.005). Sarà invece del 98% se il rapporto è cercato solo tra i valori 0.25, 0.3333, 0.5, 0.6666 e 0.75 (righe 2, 3 e 4 della tabella B). Eliminando dal conteggio alcuni valori, le percentuali aumentano, poiché è meno probabile che l'intervallo che circonda il valore dato cada su di un altro possibile rapporto e dunque è più probabile che il rapporto trovato sia effettivamente quello cercato. È da notare che la tabella  fornisce solo una probabilità statistica, non la certezza che il rapporto trovato sia quello vero: se anche la probabilità stimata fosse del 99% è sempre possibile che il vero rapporto sia dato dalla centesima ricorrenza e la risposta sia dunque falsa.

Tabella C
Percentuali di rapporti trovati
(compresi tra 0.1 e 0.9) in relazioni agli errori ammessi.

	+/- 0.0005	+/- 0.001	+/- 0.005	+/- 0.01
Righe 2, 3, 4 della Tabella B	99.4 %	99.1 %	96.1 %	92.2 %
Righe 2, 3, 4, 5 della Tabella B	98.9 %	98.4 %	93.4 %	87.6 %
Righe 2, 3, 4, 5, 6 della Tabella B	98.6 %	97.3 %	86.2 %	72.5 %
Righe 2, 3, 4, 5, 6, 7 della Tabella B	97.9 %	95.8 %	78.8 %	57.5 %
Righe 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 della Tabella B	97.2 %	94.9 %	73.5 %	47.9 %
Righe 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 della Tabella B	96.7 %	93.3 %	66.4 %	35.4 %
Tutti i valori della Tabella B	96.2 %	92.6 %	62.6 %	31.9 %
Tutti i valori della Tabella A	95.3 %	90.8 %	58.3 %	29.2 %

L'interesse delle tabelle proposte consiste nel rendere scientificamente sostenibile una stima probabilistica. Stima che altrimenti dovrebbe essere fatta "ad occhio" e che, dati i complessi calcoli necessari, probabilmente sarebbe del tutto errata: errore che si sommerebbe ai precedenti.

Il grafico mostra visivamente il diminuire della probabilità di trovare il giusto rapporto con l'aumentare dell'intervallo di incertezza. In ascissa sono riportate tante barre verticali quanti sono i valori della tabella A; valori distribuiti tra 0.1 e 0.9. Ad ogni barra è associato uno spessore, dipendente dall'incertezza (da +/-0.025, in basso, a +/- 0.0005 in alto). Sulla sinistra si possono leggere i valori di probabilità legati a quell'incertezza. Dal grafico risulta evidente che, con l'aumentare dell'incertezza, alcuni valori (alcune barre) si sovrappongono, rendendo impossibile stabilire se un rapporto trovato si riferisca ad un valore o all'altro.

Nota La sezione aurea di un segmento è data dalla parte media proporzionale tra tutto il segmento e la parte rimanente. Se A e B sono i punti estremi del segmento: AB : AX = AX : XB dove X è compreso tra A e B e AX è la sezione aurea di AB. Se il segmento ha lunghezza unitaria, allora AX avrà lunghezza 0.618033989. In termini matematici la sezione aurea è data da: (rad(5) -1)/2 ed è pertanto un numero irrazionale. La sezione aurea (denominata d'ora in poi Ø) possiede alcune interessanti proprietà matematiche: A) 1 / Ø= 1 + Ø e dunque 1 / 0.618034 = 1.618034. B) Ø2= 1 - Ø e dunque 0.61803422 = 0.381966. C) Il rapporto tra due valori vicini della serie di Fibonacci tende al valore di Ø. (La serie di Fibonacci è data da una sequenza infinita di numeri interi (con valori iniziali 0 e 1), nella quale ogni numero è dato dalla somma dei due numeri precedenti: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... Ad esempio 89/144 = 0.6180555, mentre 144/233 = 0.6180257, ed ancora 233/377=0.6180371, e così via fino a convergere rapidamente al valore di Ø.) Ritorno al testo...

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